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在 $\triangle ABC$ 内取一点 $O$，设 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2,\overrightarrow e_3$ 分别是 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 上的单位向量，求 $m=\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    向量
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    向量的运算
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    向量的数量积
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的最值和值域
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    三角
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    解三角形
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    三角形中的三角恒等式
【答案】
$[0,1)$
【解析】
设这三个向量两两的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，则根据题意，有 $\alpha,\beta,\gamma\in (0,\pi)$，$\alpha+\beta+\gamma =2\pi$，且\[m=\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|=\sqrt{3+2\left(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\right)}.\]因为 $(\pi-\alpha)+(\pi-\beta)+(\pi-\gamma)=\pi$，所以 $\pi-\alpha,\pi-\beta,\pi-\gamma$ 构成三角形，记为 $\triangle DEF$，则有\[1<\cos D+\cos E+\cos F=1+4\sin\dfrac {D}2\sin\dfrac E2\sin\dfrac F2\leqslant \dfrac 32,\]于是 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac 32,-1\right)$，因此所求 $m$ 的取值范围是 $[0,1)$．
答案 解析 备注
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