已知函数 $f(x)=a(x-1)\left({\rm e}^x-a\right)$，其中常数 $a$ 是非零实数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 有且只有一个极值点；标注答案略解析根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a\left(x\cdot {\rm e}^x-a\right).\]考虑函数 $\varphi(x)=x\cdot {\rm e}^x$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x(x+1),\]于是\[\begin{array} {c|ccccc}\hline
x&-\infty&(-\infty,-1)&-1&(-1,+\infty)&+\infty \\ \hline
\varphi(x)&0&\searrow &-{\rm e}^{-1}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\]当 $x<0$ 时，由于\[\varphi(x)<0<a,\]因此函数 $f'(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上没有零点；
当 $x>0$ 时，由于\[\varphi(0)=0<a<a\cdot {\rm e}^a=\varphi(a),\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,a)$ 上有一个零点，考虑到函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，因此函数 $f(x)$ 有且仅有一个极值点． -
若函数 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，求证：函数 $f(x)$ 的极值在 $0$ 和 $4{\rm e}^{-2}$ 之间．标注答案略解析根据第 $(1)$ 小题的结果，若函数 $f(x)$ 存在两个极值点，则 $a$ 的取值范围是 $\left(-{\rm e}^{-1},0\right)$ 且极值点位于区间 $(-\infty,0)$ 内．设极值点为 $x=m$，则\[m\cdot {\rm e}^m=a,\]且此时极值\[\begin{split} f(m)&=a(m-1)\left({\rm e}^m-a\right)\\
&=m\cdot {\rm e}^m(m-1)\left({\rm e}^m-m\cdot {\rm e}^m\right)\\
&={\rm e}^{2m}\cdot\left(-m^3+2m^2-m\right),\end{split}\]记右侧函数为 $\varphi(m)$，则\[\varphi'(m)=-{\rm e}^{2m}(m+1)(2m-1)(m-1),\]于是\[\begin{array}{c|ccccccc}\hline
m&(-\infty,-1)&-1&\left(-1,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,1\right)&1&(1,+\infty)\\ \hline
\varphi'(m)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline
\varphi(m)&\nearrow&4{\rm e}^{-2}&\searrow&-\dfrac{\rm e}8&\nearrow&0&\searrow\\ \hline
\end{array}\]考虑到当 $m<0$ 时，有 $\varphi(m)>0$，于是当 $m\in (-\infty,0)$ 时，有 $\varphi(m)\in \left(0,4{\rm e}^{-2}\right)$，命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
