设 $x_1=3$，$x_{n+1}=\left(\dfrac2{n^2}+\dfrac3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbb N^\ast$，求通项公式 $x_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x_n=n^2(2n+1),n\in \mathbb N^\ast$
【解析】
由题意得$$x_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{n^2}x_n+(n+1),$$从而有$$\dfrac{x_{n+1}}{n+1}=\dfrac{n+2}{n}\cdot\dfrac{x_n}{n}+1,$$记 $y_n=\dfrac{x_n}{n}$，则$$\dfrac{y_{n+1}-1}{y_n}=\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{(y_{n+1}-1)+(n+2)}{y_n+n},$$即有$$\dfrac{y_{n+1}+(n+1)}{y_n+n}=\dfrac{n+2}{n},$$由累乘法得$$y_n=n(2n+1),n\in\mathbb N^\ast,$$所以$$x_n=n^2(2n+1).$$
答案
解析
备注
