设 $x_2=1,x_3=2,x_n=(n-1)(x_{n-1}+x_{n-2}),n\geqslant 4$ 且 $n\in \mathbb N^\ast$，求 $\{x_n\}$ 的通项表达式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x_n=n!\displaystyle\sum_{m=2}^n\dfrac{(-1)^m}{m!}$
【解析】
考虑作代换 $x_k=k!\cdot y_k$，代入已知递推关系式得$$ky_k=(k-1)y_{k-1}+y_{k-2},$$即有$$y_k-y_{k-1}=-\dfrac1k(y_{k-1}-y_{k-2}),$$由累乘法可得$$y_m-y_{m-1}=(-1)^m\cdot\dfrac1{m!},$$由累加法得$$y_n=\sum_{m=2}^n\dfrac{(-1)^m}{m!},$$进而$$ x_n=n!\displaystyle\sum_{m=2}^n\dfrac{(-1)^m}{m!} .$$
答案
解析
备注
