设数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a_2=1,a_3=2$，且对 $n\in\mathbb N^\ast$，有 $a_na_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}$ $=a_n+$ $a_{n+1}+$ $a_{n+2}+a_{n+3}$ 恒成立，其中 $a_na_{n+1}a_{n+2}\neq 1$，试求该数列前 $100$ 项和 $S_{100}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$200$
【解析】
由已知条件，有$$\forall n\in\mathbb N^\ast,a_na_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3},$$把式中的 $n$ 换成 $n+1$，得$$a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}a_{n+4}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4},$$两式相减得$$a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}\left(a_n-a_{n+4}\right)=a_n-a_{n+4},$$由于$$a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}\neq 1,$$所以$$a_n=a_{n+4}.$$于是$$S_{100}=25S_4=200.$$
答案
解析
备注
