已知 $\alpha^{2005}+\beta^{2005}$ 可表示成以 $\alpha+\beta,\alpha\beta$ 为变元的二元多项式，求这个多项式的系数之和．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
在 $\alpha^k+\beta^k$ 的展开式中，令$$\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\ \alpha\beta=1,\end{cases}$$其所求系数之和为 $S_k$，由$$(\alpha+\beta)(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1})=\alpha^k+\beta^k+\alpha\beta(\alpha^{k-2}+\beta^{k-2}),$$有$$S_k=S_{k-1}-S_{k-2},$$易得$$S_k=S_{k-6},$$因此数列 $\{S_k\}$ 是周期为 $6$ 的周期数列．由此得$$S_{2005}=S_1=1.$$
答案
解析
备注
