已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=f(x_n)$，$x_1=\dfrac12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $\{x_n\}$ 的通项公式；标注答案$x_n=\dfrac{2^{n-1}}{1+2^{n-1}},n\in\mathbb N^\ast$解析根据题意有$$\begin{cases} f(1)=\dfrac2{a+b}=1,\\f\left(\dfrac12\right)=\dfrac2{a+2b}=\dfrac23, \end{cases}$$解得 $a=b=1$，故 $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$，所以$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{x_n+1},$$所以$$ \dfrac1{x_{n+1}}-1 =\dfrac12\left(\dfrac1x_n-1\right),$$于是$$x_n=\dfrac{2^{n-1}}{1+2^{n-1}},n\in\mathbb N^\ast.$$
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求证：$\displaystyle\prod_{k=1}^nx_k>\dfrac1{2\mathrm{e}}$．标注答案略解析根据题意即证$$\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\dfrac1{2^{k}}\right)<\mathrm{e},$$两边取对数，即证$$\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\dfrac1{2^{k}}\right)<1.$$而$$\forall x>0,\ln(1+x)<x,$$因此$$\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\dfrac1{2^{k}}\right)<\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1{2^{k}}<1.$$于是原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
