已知 $a,b,c$ 为正整数，方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两实根为 $x_1,x_2$，$x_1\neq x_2$，且 $|x_1|<1,|x_2|<1$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
依题意可知$$\begin{cases} b^2-4ac>0,\\ x_1+x_2=-\dfrac ba<0,\\ x_1x_2=\dfrac ca>0.\end{cases}$$从而可知$$x_1,x_2\in(-1,0),$$所以有$$\begin{cases} b^2-4ac>0,\\f(-1)=a-b+c>0,\\x_1x_2=\dfrac ca<1. \end{cases}$$即$$\begin{cases} b^2>4ac,\\b<a+c,\\c<a. \end{cases}$$又 $a,b,c$ 均为正整数，取 $c=1$，则 $a+1>b$，即有 $a\geqslant b$，所以$$a^2\geqslant b^2>4ac=4a,$$于是 $a>4$，从而 $a\geqslant 5$，所以$$b^2>4ac\geqslant 20,$$又 $b<a+1$，所以取 $(a,b)=(5,5)$，因此 $a+b+c$ 有最小值 $11$．以下证明$$\forall c\geqslant 2,a+b+c\geqslant 11,$$当 $c\geqslant 2$，有 $a\geqslant 3$，从而$$b^2>4ac\geqslant 24,$$所以 $b\geqslant 5$，所以 $a+c\geqslant 6$，所以$$ a+b+c\geqslant 11.$$综上可得 $ a+b+c $ 的最小值为 $ 11$．
答案
解析
备注
