证明：$\Delta ABC$ 为直角三角形的充要条件是 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $A=\dfrac{\pi}2$，$B+C=\dfrac{\pi}{2}$，则$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=1+\sin^2B+\sin^2B=2.$$
根据题意有$$\begin{split} 0&=2-\sin^2A-\sin^2B-\sin^2C\\&=cos^2A+\cos^2B-\sin^2(A+B)\\&=\cos^2A+cos^2B-sin^2A\cos^2B-2\sin A\cos A\sin B\cos B-\cos^2A\sin^2B\\&=2\cos^2A\cos^2B-2\sin A\cos A\sin B\cos B\\&=2\cos A\cos B(\cos A\cos B-\sin A\sin B)\\&=-2\cos A\cos B\cos C. \end{split}$$因此 $\cos A,\cos B,\cos C$ 中有一个 $0$，其所对应的角为直角．
答案
解析
备注
