若 $a+b+c=1,a,b,c\in(0,1)$，求证 $a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant(a-2)\ln2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由琴生不等式有$$\begin{split}
a\ln a+b\ln b+c\ln c-(a-2)\ln2
&\geqslant a{\ln} a+2\cdot\dfrac{b+c}2{\ln}\dfrac{b+c}2-(a-2){\ln} 2\\
&=a\ln a+(1-a)\ln(1-a)+\ln 2\\
&\geqslant 2\cdot \dfrac 12\ln \dfrac 12+\ln 2\\
&=0,
\end{split}$$因此原不等式得证．
a\ln a+b\ln b+c\ln c-(a-2)\ln2
&\geqslant a{\ln} a+2\cdot\dfrac{b+c}2{\ln}\dfrac{b+c}2-(a-2){\ln} 2\\
&=a\ln a+(1-a)\ln(1-a)+\ln 2\\
&\geqslant 2\cdot \dfrac 12\ln \dfrac 12+\ln 2\\
&=0,
\end{split}$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
