在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为三角形三内角 $A,B,C$ 所对的边，试证：$\dfrac{\pi}3\leqslant \dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}<\dfrac{\pi}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证左边．即证$$3(aA+bB+cC)\geqslant (a+b+c)(A+B+C),$$又即证$$2(aA+bB+cC)\geqslant aB+aC+bA+bC+cA+cB,$$在 $\triangle ABC$ 中不妨设$$A\geqslant B\geqslant C,$$则有$$a\geqslant b\geqslant c,$$由排序不等式知$$\begin{cases} aA+bB+cC\geqslant aB+bC+cA,\\
aA+bB+cC\geqslant aC+bA+cB.\end{cases}$$将以上两式相加后即证得原不等式左边．
再证右边．由三角形任意两边和大于第三边，易知下列不等式成立$$\begin{cases} aC+bC>cC,\\
aB+cB>bB,\\
bA+cA>aA.\end{cases}$$于是$$\begin{split} 2(aA+bB+cC)&<(aA+bB+cC)+aC+bC+aB+cB+bA+cA \\
&=(a+b+c)(A+B+C),\end{split}$$因此$$\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}<\dfrac{\pi}2.$$综上，证毕．
aA+bB+cC\geqslant aC+bA+cB.\end{cases}$$将以上两式相加后即证得原不等式左边．
再证右边．由三角形任意两边和大于第三边，易知下列不等式成立$$\begin{cases} aC+bC>cC,\\
aB+cB>bB,\\
bA+cA>aA.\end{cases}$$于是$$\begin{split} 2(aA+bB+cC)&<(aA+bB+cC)+aC+bC+aB+cB+bA+cA \\
&=(a+b+c)(A+B+C),\end{split}$$因此$$\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}<\dfrac{\pi}2.$$综上，证毕．
答案
解析
备注
