设 $\alpha,\beta.\gamma$ 均为锐角，且 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$，求证：$\cot^2\alpha+\cot^2\beta+\cot^2\gamma\geqslant\dfrac32$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=3-\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma\right)=2,$$则$$\begin{split} \cot^2\alpha+\cot^2\beta+\cot^2\gamma&=\dfrac1{\sin^2\alpha}+\dfrac1{\sin^2\beta}+\dfrac1{\sin^2\gamma}-3\\
&\geqslant \dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma}-3\\
&=\dfrac32.\end{split}$$证毕．
&\geqslant \dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma}-3\\
&=\dfrac32.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
