设 $a,b,c$ 都是正数，$\dfrac1{1+a}+\dfrac1{1+b}+\dfrac1{1+c}=1$，求证：$abc\geqslant 8$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意可设$$\begin{cases} a=\dfrac{y^2+z^2}{x^2},\\
b=\dfrac{x^2+z^2}{y^2},\\
c=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}.\end{cases}$$则$$abc=\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x^2+z^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{x^2y^2z^2}\geqslant \dfrac{2yz\cdot 2xz\cdot 2xy}{x^2y^2z^2}=8.$$证毕．
b=\dfrac{x^2+z^2}{y^2},\\
c=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}.\end{cases}$$则$$abc=\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x^2+z^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{x^2y^2z^2}\geqslant \dfrac{2yz\cdot 2xz\cdot 2xy}{x^2y^2z^2}=8.$$证毕．
答案
解析
备注
