设 $a,b,c$ 都是正数，$\dfrac1{1+a}+\dfrac1{1+b}+\dfrac1{1+c}=1$，求证：$abc\geqslant 8$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题中所给等式有$$\sum_{cyc}(1+b)(1+c)=\prod_{cyc}(1+a),$$整理可得$$abc=2+a+b+c\geqslant 2+3\sqrt[3]{abc},$$也即\[\left(\sqrt[3]{abc}-2\right)\cdot \left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^2\geqslant 0,\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
