已知椭圆方程 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$，其左右焦点分别为 $F_1,F_2$，若点 $A$ 为椭圆 $C$ 上任一点，直线 $AF_1,AF_2$ 分别与椭圆交于 $M,N$ 两点，求证：$\dfrac{|AF_1|}{|MF_1|}+\dfrac{|AF_2|}{|NF_2|}$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意易知有$$\dfrac{1}{|AF_1|}+\dfrac1{|MF_1|}=\dfrac{a}{b^2},$$于是有$$\dfrac{|AF_1|}{|MF_1|}=\dfrac a{b^2}|AF_1|-1,$$同理可得$$\dfrac{|AF_2|}{|MF_2|}=\dfrac a{b^2}|AF_2|-1,$$两式相加有$$\dfrac{|AF_1|}{|MF_1|}+\dfrac{|AF_2|}{|NF_2|}=\dfrac{a}{b^2}\cdot 2a-2=\dfrac{2(1+e^2)}{1-e^2}.$$证毕．
答案
解析
备注
