已知 $x,y,z>0$，且 $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$，求证：$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}\geqslant \sqrt3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于三角形 $\Delta ABC$ 三内角 $A,B,C$ 满足恒等式$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1,$$而题中$$-1<x,y,z<1,$$因此可以考虑设$$\begin{cases} x=\cos A,\\ y=\cos B,\\ z=\cos C. \end{cases}$$则$$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}=\tan\dfrac A2+\tan\dfrac B2+\tan \dfrac C2,$$则原不等式等价于证明$$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac B2+\tan \dfrac C2\geqslant \sqrt3,$$而$$\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2=1$$恒成立，因此$$\sum_{cyc}\tan\dfrac A2=\sqrt{\left(\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\right)^2}\geqslant\sqrt{3\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2}=\sqrt3, $$证毕．
答案
解析
备注
