在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\sin \dfrac A2\sin \dfrac B2\sin\dfrac C2\leqslant \dfrac18$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意即证$$\sum_{cyc}\ln \sin\dfrac A2\leqslant3\ln \dfrac12,$$易证函数 $y=\ln\sin x$ 在区间 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上为上凸函数，因此由琴生不等式有$$\sum_{cyc}\ln \sin\dfrac A2\leqslant 3\ln\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{cyc}\frac A2}{3}\right)=3\ln\dfrac12.$$证毕．
答案
解析
备注
