在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\cot A+\cot B+\cot C\geqslant \sqrt3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\begin{split} \cot A+\cot B&=\dfrac{\sin(A+B)}{\sin A\sin B}\\
&=\dfrac{2\sin(A+B)}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}\\
&\geqslant \dfrac{2\sin(A+B)}{1-\cos(A+B)}\\
&=2\cot\dfrac{A+B}{2}.\end{split}$$同理可得$$\cot C+\cot\dfrac{\pi}{3}\geqslant 2\cot\dfrac{C+\frac{\pi}{3}}{2},$$所以$$\begin{split} \cot A+\cot B+\cot C+\cot\dfrac{\pi}3&\geqslant 2\cot\dfrac{A+B}{2}+2\cot\dfrac{C+\frac{\pi}3}{2}\\
&\geqslant 4\cot\dfrac{\frac{A+B}{2}+\frac{C+\frac{\pi}3}{2}}{2}\\&=\dfrac{4\sqrt3}{3}.\end{split}$$于是$$\cot A+\cot B+\cot C\geqslant \sqrt3.$$
&=\dfrac{2\sin(A+B)}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}\\
&\geqslant \dfrac{2\sin(A+B)}{1-\cos(A+B)}\\
&=2\cot\dfrac{A+B}{2}.\end{split}$$同理可得$$\cot C+\cot\dfrac{\pi}{3}\geqslant 2\cot\dfrac{C+\frac{\pi}{3}}{2},$$所以$$\begin{split} \cot A+\cot B+\cot C+\cot\dfrac{\pi}3&\geqslant 2\cot\dfrac{A+B}{2}+2\cot\dfrac{C+\frac{\pi}3}{2}\\
&\geqslant 4\cot\dfrac{\frac{A+B}{2}+\frac{C+\frac{\pi}3}{2}}{2}\\&=\dfrac{4\sqrt3}{3}.\end{split}$$于是$$\cot A+\cot B+\cot C\geqslant \sqrt3.$$
答案
解析
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