对于任意 $\triangle ABC$，三内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，求证：$a\cos A+b\cos B+c\cos C\leqslant \dfrac12(a+b+c)$，
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\begin{split} (a-b)(\cos A-\cos B)\leqslant 0\\ (b-c)(\cos B-\cos C)\leqslant 0\\(c-a)(\cos C-\cos A)\leqslant 0\end{split}$$三式相加有$$ \sum_{cyc}\left[2a\cos A-(a\cos B+b\cos A)\right]\leqslant 0,$$即$$\sum_{cyc}\left(2a\cos A-c\right)\leqslant 0,$$于是$$a\cos A+b\cos B+c\cos C\leqslant \dfrac12(a+b+c).$$得证．
答案
解析
备注
