设 $a,b$ 是正实数，且 $ab=1$，求证：$\left(a+2b+\dfrac2{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac2{b+1}\right)\geqslant 16$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
尝试用均值不等式处理分母\[a+2b+\dfrac 2{a+1}=\dfrac{a+1}2+\dfrac{2}{a+1}+2b+\dfrac a2-\dfrac 12\geqslant \dfrac a2+2b+\dfrac 32,\]于是\[\begin{split} LHS&\geqslant \left(\dfrac a2+2b+\dfrac 32\right)\left(2a+\dfrac b2+\dfrac 32\right)\\
&=a^2+b^2+\dfrac{15(a+b)}{4}+\dfrac{17ab}4+\dfrac 94\\
&=(a+b)^2+\dfrac{15(a+b)}4+\dfrac 92\\
&\geqslant 16,\end{split}\]等号当 $a=b=1$ 时取得，因此原命题得证．
&=a^2+b^2+\dfrac{15(a+b)}{4}+\dfrac{17ab}4+\dfrac 94\\
&=(a+b)^2+\dfrac{15(a+b)}4+\dfrac 92\\
&\geqslant 16,\end{split}\]等号当 $a=b=1$ 时取得，因此原命题得证．
答案
解析
备注
