在已知 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边为 $a,b,c$，且 $\cos A+\cos B=\dfrac {a+b}{c}$，试判断 $\triangle ABC$ 的形状．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
直角三角形
【解析】
根据题意由正弦定理可得$$\sin C(\cos A+\cos B)=\sin A+\sin B,$$再由和差化积公式有$$\sin C\cdot 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2},$$于是$$2\sin\dfrac C2\cos\dfrac C2\cdot\sin \dfrac C2=\cos\dfrac C2,$$进而$$\sin \dfrac C2=\dfrac{\sqrt2}2.$$因此 $A=\dfrac{\pi}2$，所以 $\triangle ABC$ 为直角三角形．
答案
解析
备注
