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已知 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$\dfrac{27a^2b^2c^2}{(a+b+c)^3}\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
情形一 当 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leqslant 0$ 时，原不等式显然成立．
情形二当 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)> 0$ 时，$a,b,c$ 恰好可作为一个三角形 $ABC$ 的三边长．根据三角形面积的海伦公式：$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\dfrac{a+b+c}2,$$原不等式等价于证明：$$\dfrac{27a^2b^2c^2}{(a+b+c)^2}\geqslant 16S^2, $$即证$$\dfrac{3\sqrt3abc}{a+b+c}\geqslant 4S,$$又即$$\dfrac{3\sqrt3abc}{a+b+c}\geqslant 2ab\sin C.$$由正弦定理代入即需证：$$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant \dfrac{3\sqrt3}{2}.$$由琴生不等式易知上式显然成立，于是原不等式得证．
答案 解析 备注
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