求证：在 $\triangle ABC$ 中，有 $(\sin A+\sin B+\sin C)$ $(\cot A+\cot B+\cot C)$ $=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{2abc}$，其中 $a,b,c$ 为 $\triangle ABC$ 三内角 $A,B,C$ 所对的边．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，则$$\sin A+\sin B+\sin C=\dfrac{2S}{bc}+\dfrac{2S}{ac}+\dfrac{2S}{ab}=\dfrac{2S(a+b+c)}{abc},$$而$$\begin{split} \cot A+\cot B+\cot C&=\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}+\dfrac{\cos C}{\sin C}\\
&=\sum_{cyc}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\dfrac{bc}{2S}\right)\\
&=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}. \end{split}$$所以$$(\sin A+\sin B+\sin C)(\cot A+\cot B+\cot C)=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{2abc}.$$
&=\sum_{cyc}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\dfrac{bc}{2S}\right)\\
&=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}. \end{split}$$所以$$(\sin A+\sin B+\sin C)(\cot A+\cot B+\cot C)=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{2abc}.$$
答案
解析
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