设 $\dfrac32\leqslant x\leqslant 5$，证明不等式 $2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设向量$$\begin{split} \overrightarrow a&=(1,1,1,1)\\
\overrightarrow b&=(\sqrt{x+1},\sqrt{x+1},\sqrt{2x-3},\sqrt{15-3x})\end{split}$$则由$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant |\overrightarrow a||\overrightarrow b|$$得$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\leqslant 2\sqrt{19},$$当且仅当 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 同向，即$$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-3}=\sqrt{15-3x}$$时等号成立，显然不存在这样的实数，所以$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}.$$
\overrightarrow b&=(\sqrt{x+1},\sqrt{x+1},\sqrt{2x-3},\sqrt{15-3x})\end{split}$$则由$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant |\overrightarrow a||\overrightarrow b|$$得$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\leqslant 2\sqrt{19},$$当且仅当 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 同向，即$$\sqrt{x+1}=\sqrt{2x-3}=\sqrt{15-3x}$$时等号成立，显然不存在这样的实数，所以$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}.$$
答案
解析
备注
