题目 设函数 $f\left( x \right) = 1 - {{\mathrm {e}}^{ - x}}$． 问题1 证明：当 $x> - 1$ 时，$f\left( x \right) \geqslant \dfrac{x}{x + 1}$； 答案1 略 解析1 当 $ x >-1 $ 时，$ f\left(x\right) \geqslant \dfrac x {x+1} $，当且仅当\[ {\mathrm { e}}^x \geqslant 1+x. \]令 $ g\left(x\right) = {\mathrm {e}}^x -x -1$，则\[g'\left(x\right) = {\mathrm {e}}^x-1, \]当 $ x \geqslant 0 $ 时，$ g'\left(x\right) \geqslant 0 $，$ g\left(x\right) $ 在 $ \left[0,+\infty\right) $ 上是增函数；<br/>当 $ x \leqslant 0 $ 时，$ g'\left(x\right) \leqslant 0 $，$ g\left(x\right) $ 在 $ \left(-\infty,0\right] $ 上是减函数．<br/>于是 $g\left(x\right)$ 在 $x = 0$ 处达到最小值，因而当 $x \in {\mathbb {R}}$ 时，\[g\left(x\right) \geqslant g\left(0\right),\]即\[{{\mathrm {e}}^x} \geqslant 1 + x.\]所以当 $x > - 1$ 时，$f\left(x\right) \geqslant \dfrac{x}{x + 1}$． 备注1 问题2 设当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left( x \right) \leqslant \dfrac{x}{ax + 1}$，求 $ a $ 的取值范围． 答案2 $\left[0,\dfrac 1 2 \right]$ 解析2 将不等式转化为\[\left(1-\dfrac{x}{ax+1}\right)\cdot {\rm e}^x-1\leqslant 0,\]设左侧函数为 $\mu(x)$，则 $\mu(0)=0$，其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x}{\left(ax+1\right)^2}\cdot \left[\left(a^2-a\right)x+2a-1\right],\]由端点分析可得讨论的分界点为 $0,\dfrac 12,1$．<br/><case>情形一</case> $a\geqslant 1$ 时，$\mu'(x)>0$，于是 $\mu(x)$ 单调递增，不符合题意．<br/><case>情形二</case> $\dfrac 12<a<1$ 时，在区间 $\left(0,\dfrac{2a-1}{a-a^2}\right)$ 上 $\mu'(x)>0$，于是 $\mu(x)$ 在该区间上单调递增，不符合题意．<br/><case>情形三</case> $0\leqslant a \leqslant \dfrac 12$ 时，在 $(0,+\infty)$ 上均有 $\mu'(x)\leqslant 0$，于是 $\mu(x)$ 单调递减，符合题意．<br/><case>情形四</case> $a<0$ 时，有\[\left(1-\dfrac{x}{ax+1}\right)\cdot {\rm e}^x-1>\left(1-\dfrac 1a\right)\cdot {\rm e}^x-1,\]于是当 $x>\ln\dfrac{a}{a-1}$ 时，有 $\mu(x)>0$，不符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac 12\right]$． 备注2