题目 在平面直角坐标系中，已知三定点 $A(1,2),B(1,-2)$ 和 $P(3,2)$，$O$ 为坐标原点，设满足 $\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right|=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AP}+2$ 的动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$． 问题1 求曲线 $C$ 的方程； 答案1 略 解析1 略 备注1 问题2 过曲线 $C$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $\alpha$（$\alpha$ 为锐角）的直线 $l$，交曲线 $C$ 于 $D,E$ 两点，线段 $DE$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $T$，试推断当 $\alpha$ 变化是，$|FT|\cdot(1-2\cos\alpha)$ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 答案2 略 解析2 略 备注2