已知 $a_n=\log_{n+2}(n+3)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），定义：可使乘积 $a_1\cdot a_2\cdots a_k$ 为整数的 $k$（$k\in \mathbb N^{\ast}$）为“最佳数”，求在区间 $[1,2015]$ 内的所有“最佳数”的和．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$1074$
【解析】
设 $a_1\cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_k=m (m\in \mathbb Z)$，则\[m=\dfrac{\lg 4}{\lg 3}\cdot \dfrac{\lg 5}{\lg 4}\cdot \cdots \cdot \dfrac{\lg(k+3)}{\lg(k+2)}=\dfrac{\lg(k+3)}{\lg 3},\]所以\[k+3=3^m.\]因为 $k\in \mathbb N^{\ast}$，$m\in\mathbb{Z}$，$1\leqslant k=3^m-3\leqslant 2015$，所以 $m=2,3,4,5,6$．因此 $k=3^m-3$ 可取\[3^2-3,3^3-3,\cdots,3^6-3,\]故总和为$$\left(3^2+3^3+\cdots+3^6\right)-3\cdot 5=1074.$$
答案
解析
备注
