已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+y^2=1$ 经过点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt2}2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程及其离心率；标注答案$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，$e=\dfrac{\sqrt2}2$解析将点 $P$ 的坐标代入椭圆 $C$ 的方程可得 $a=2$，因此所求椭圆方程为$$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,$$于是离心率为 $e=\dfrac{\sqrt2}2$．
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过椭圆右焦点 $F$ 的直线（不经过点 $P$）与椭圆交于 $A,B$ 两点，当 $\angle APB$ 的平分线为 $PF$ 时，求直线 $AB$ 的斜率 $k_0$．标注答案$\dfrac{\sqrt2}2$解析根据题意，有 $PA$ 与 $PB$ 的斜率之和为 $0$．将坐标系原点平移到 $P$，则椭圆的方程变为\[C':\dfrac{(x'+1)^2}{2}+\left(y'+\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2=1,\]即\[C':x'^2+2y'^2+2x'+2\sqrt 2y'=0,\]设直线 $A'B'$ 的方程为\[A'B':mx'+ny'=1,\]化齐次联立可得\[x'^2+2y'^2+\left(2x'+2\sqrt 2y'\right)\cdot \left(mx'+ny'\right)=0,\]即\[\left(2+2\sqrt 2\cdot n\right)y'^2+\left(2n+2\sqrt 2\cdot m\right)x'y'+\left(1+2m\right)x'^2=0.\]因此由 $PA$ 与 $PB$ 的斜率之和为 $0$ 可得\[2n+2\sqrt 2\cdot m=0,\]因此\[k_0=-\dfrac{m}{n}=\dfrac{\sqrt 2}2.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
