已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+y^2=1$ 经过点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt2}2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程及其离心率；标注答案$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，$e=\dfrac{\sqrt2}2$解析将点 $P$ 的坐标代入椭圆 $C$ 的方程可得 $a=2$，因此所求椭圆方程为$$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,$$于是离心率为 $e=\dfrac{\sqrt2}2$．
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过椭圆右焦点 $F$ 的直线（不经过点 $P$）与椭圆交于 $A,B$ 两点，当 $\angle APB$ 的平分线为 $PF$ 时，求直线 $AB$ 的斜率 $k_0$．标注答案$\dfrac{\sqrt2}2$解析通过伸缩变换 $\left(x',y'\right)=\left(x,\sqrt 2y\right)$ 将椭圆 $C$ 变为圆\[C':x'^2+y'^2=2.\]此时 $P'(1,1)$，根据题意，$P'F'$ 平分 $\angle A'P'B'$，因此弧 $A'B'$ 被直线 $P'F'$ 平分．设直线 $P'F'$ 与圆 $C'$ 交于 $Q'$，则 $Q(1,-1)$，此时根据垂径定理直线 $A'B'$ 与 $O'Q'$ 垂直，因此其斜率为 $1$，回到原坐标系，直线 $AB$ 的斜率 $k_0=\dfrac{\sqrt 2}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
