已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+y^2=1$ 经过点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt2}2\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程及其离心率；标注答案$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，$e=\dfrac{\sqrt2}2$解析将点 $P$ 的坐标代入椭圆 $C$ 的方程可得 $a=2$，因此所求椭圆方程为$$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,$$于是离心率为 $e=\dfrac{\sqrt2}2$．
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过椭圆右焦点 $F$ 的直线（不经过点 $P$）与椭圆交于 $A,B$ 两点，当 $\angle APB$ 的平分线为 $PF$ 时，求直线 $AB$ 的斜率 $k_0$．标注答案$\dfrac{\sqrt2}2$解析设 $A\left(\sqrt 2\cos\alpha,\sin\alpha\right)$，$B\left(\sqrt 2\cos\beta,\sin\beta\right)$，其中 $\alpha,\beta\in\left(-\dfrac{\pi}4,\dfrac{7\pi}4\right)$，则\[\dfrac{\sin\alpha-\dfrac{\sqrt 2}2}{\sqrt 2\cos\alpha-1}+\dfrac{\sin\beta-\dfrac{\sqrt 2}2}{\sqrt 2\cos\beta-1}=0,\]直线 $AB$ 的斜率\[k_0=\dfrac{\sin\alpha-\sin\beta}{\sqrt 2\cos\alpha-\sqrt 2\cos\beta}=-\dfrac{1}{\sqrt 2\tan\dfrac{\alpha+\beta}2}.\]设\[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot\dfrac{\sqrt 2\sin x-1}{\sqrt 2\cos x-1},x\in \left(-\dfrac{\pi}4,\dfrac{7\pi}4\right)\]则\[f\left(\dfrac{3\pi}2-x\right)=f(x),\]进一步可知该函数是关于点 $\left(\dfrac{3\pi}4,0\right)$ 对称的单调递增函数，于是\[\alpha+\beta=\dfrac{3\pi}2,\]进而\[k_0=-\dfrac{1}{\sqrt 2\tan\dfrac{3\pi}4}=\dfrac{\sqrt 2}2.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
