设 $x_i$ 为正实数，其中 $i=1,2,3,\cdots,2010$，且 $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_{2010}}=2010$，试求 $y=\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{x_2+x_3}+\cdots+\sqrt{x_{2010}+x_1}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2010\sqrt2$
【解析】
根据题意由柯西不等式有$$y\geqslant \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt2}+\dfrac{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}}{\sqrt2}+\cdots+\dfrac{\sqrt{x_{2010}}+\sqrt{x_1}}{\sqrt2}=\dfrac{2\cdot 2010}{\sqrt2}=2010\sqrt2.$$当且仅当 $x_i=1,i=1,2,\cdots,2010$ 时 $y$ 取得最小值 $2010\sqrt2$．
答案
解析
备注
