证明：对任意正数 $x,y,z$，都有 $\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}}\geqslant \sqrt[32]{xyz}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，若存在三个正数 $x,y,z$，使得$$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}}< \sqrt[32]{xyz},$$则有$$\begin{cases} &\sqrt{x}<\sqrt[32]{xyz},\\
&\sqrt[6]{y}<\sqrt[32]{xyz},\\
&\sqrt[24]{z}<\sqrt[32]{xyz},\end{cases}$$三式相乘得$$\sqrt[32]{xyz}<\sqrt[32]{xyz}.$$导致矛盾，因此假设不成立，原命题得证．
&\sqrt[6]{y}<\sqrt[32]{xyz},\\
&\sqrt[24]{z}<\sqrt[32]{xyz},\end{cases}$$三式相乘得$$\sqrt[32]{xyz}<\sqrt[32]{xyz}.$$导致矛盾，因此假设不成立，原命题得证．
答案
解析
备注
