已知 $n$ 是正整数，求证：$\dfrac1{\sqrt{1^3}}+\dfrac1{\sqrt{2^3}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{n^3}}<3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt{k^3}}\\
&=\sum_{k=1}^n\dfrac2{k\sqrt k+k\sqrt{k}}\\
&<1+\sum_{k=2}^n\dfrac2{k\sqrt{k-1}+(k-1)\sqrt{k}}\\
&=1+\sum_{k=2}^n\dfrac2{\sqrt{k}\sqrt{k-1}(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})}\\
&=1+\sum_{k=2}^n2\left(\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac1{\sqrt k}\right)\\
&=3-\dfrac2{\sqrt n}\\
&<3.\end{split}$$证毕．
&=\sum_{k=1}^n\dfrac2{k\sqrt k+k\sqrt{k}}\\
&<1+\sum_{k=2}^n\dfrac2{k\sqrt{k-1}+(k-1)\sqrt{k}}\\
&=1+\sum_{k=2}^n\dfrac2{\sqrt{k}\sqrt{k-1}(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})}\\
&=1+\sum_{k=2}^n2\left(\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac1{\sqrt k}\right)\\
&=3-\dfrac2{\sqrt n}\\
&<3.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
