题目 已知 $f(x)=(x^2+ax+a)\mathrm{e}^{-x},x\in\mathbb R$． 问题1 确定实数 $a$ 的值，使 $f(x)$ 的极小值为 $0$； 答案1 $0,4$ 解析1 根据题意，有 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=-x(x-2+a)\cdot {\rm e}^{-x},\]于是可能的极值点为 $x=0$ 以及 $x=2-a$．又\[\begin{split} f(0)&=a,\\<br/>f(2-a)&=(4-a){\rm e}^{a-2},\end{split}\]于是 $a=0$ 或 $a=4$．<br/>当 $a=0$ 时，有\[\begin{array} {c|cccccc}\hline<br/>x&(-\infty,0)&0&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&0&\nearrow&4{\rm e}^{-2}&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]符合题意．<br/>当 $a=4$ 时，有\[\begin{array} {c|cccccc}\hline<br/>x&(-\infty,-2)&-2&(-2,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&0&\nearrow&4&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的值为 $0$ 或 $4$． 备注1 问题2 求证：当且仅当 $a=3$ 时，$f(x)$ 的极大值为 $3$． 答案2 略 解析2 <sol>充分性</sol>当 $a=3$ 时，有\[\begin{array} {c|cccccc}\hline<br/>x&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&-{\rm e}&\nearrow&3&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]于是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 $f(0)=3$．<br/><sol>必要性</sol>根据第 $(1)$ 小题的结论，若 $f(x)$ 的极大值为 $3$，则\[\left(f(0)=3\right)\lor\left(f(2-a)=3\right),\]于是\[\left(a=3\right)\lor\left((4-a){\rm e}^{a-2}=3\right).\]考虑函数\[\varphi(x)=(4-x){\rm e}^{x-2},\]则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^{x-2}\cdot (3-x),\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(-\infty,3)&3&(3,+\infty)\\ \hline<br/>\varphi'(x)&+&0&-\\ \hline<br/>\varphi(x)&\nearrow&{\rm e}&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]因此函数 $\varphi(x)$ 在 $x=3$ 处取得极大值，亦为最大值\[\varphi(3)={\rm e}<3,\]因此方程\[(4-a){\rm e}^{a-2}=3\]无解．从而 $a=3$．<br/>综上所述，命题得证． 备注2