椭圆 $C$ 中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，一条经过点 $\left(3,-\sqrt5\right)$ 且方向向量为 $\overrightarrow a=(-2,\sqrt5)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，交 $x$ 轴于 $M$ 点，又 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $l$ 的方程；标注答案$\sqrt 5x+2y-\sqrt 5=0$解析根据题意，直线 $l$ 的方程为\[\sqrt{5}(x-3)+2\left(y+\sqrt 5\right)=0,\]即\[\sqrt 5x+2y-\sqrt 5=0.\]
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求椭圆半长轴的取值范围．标注答案$\left(1,\dfrac{\sqrt{41}}{3}\right)$解析根据题意可设椭圆方程$$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0.$$由于$$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB},$$考虑设点 $A$ 与点 $B$ 的坐标分别为 $\left(1+4t,-2\sqrt5t\right)$ 与 $\left(1-2t,\sqrt5t\right)$．又因 $A,B$ 均在椭圆 $C$ 上，故将 $A,B$ 两点坐标代入得$$\begin{cases} &\dfrac{(1-2t)^2}{a^2}+\dfrac{5t^2}{b^2}=1,\\ &\dfrac{(1+4t)^2}{a^2}+\dfrac{20t^2}{b^2}=1,\end{cases}$$于是\[\begin{cases} a^2=-8t+1,\\b^2=\dfrac{5t(8t-1)}{4(1+t)}, \end{cases}\]进而由\[0<b^2<a^2,\]可得\[0<\dfrac{5t(8t-1)}{4(1+t)}<-8t+1,\]解得\[-\dfrac 49<t<0,\]进而椭圆半长轴 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{\sqrt{41}}{3}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
