题目 已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$，$a_2=\dfrac89$．当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时，有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$． 问题1 证明：$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列； 答案1 略 解析1 根据题意有$$3\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_n-a_{n-1},$$于是 $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 是等比数列，且该等比数列的首项为 $a_2-a_1$ 即 $\dfrac29$，公比为 $\dfrac13$． 备注1 问题2 求数列 $\{a_n\}$ 的通项； 答案2 $a_n=1-\dfrac1{3^n},n\in\mathbb N^\ast$ 解析2 结合第 $(1)$ 小题的结论有$$a_{n+1}-a_n=\dfrac2{3^{n+1}},n\in\mathbb N^\ast,$$由累加法可得$$a_n=1-\dfrac1{3^n},n\in\mathbb N^\ast.$$ 备注2 问题3 若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立，其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$，求 $\lambda$ 的最小值． 答案3 $2$ 解析3 即求最小正整数 $\lambda$ 使得$$\forall n\in\mathbb N^\ast,\prod_{i=1}^na_i\geqslant\dfrac1{\lambda},$$当 $n=1$ 时，有$$ a_1\geqslant\dfrac1{\lambda},$$而 $a_1=\dfrac23$，因此 $\lambda\geqslant \dfrac32$，又考虑到 $\lambda\in\mathbb N^\ast$ 于是必有$$\lambda\geqslant 2.$$当 $\lambda=2$ 时，由伯努利不等式有$$\begin{split} \prod_{i=1}^na_i&=\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac1{3^i}\right)\\<br/>&\geqslant 1-\sum_{i=1}^n\dfrac1{3^i}\\<br/>&=\dfrac12+\dfrac1{2\cdot3^n}\\<br/>&>\dfrac12.<br/>\end{split} $$因此 $\lambda=2$ 时符合题意，故 $\lambda$ 的最小值为 $2$． 备注3