已知函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=\dfrac 12ax^2+bx$（$a\ne 0$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a=-2$，函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在其定义域上是增函数，求 $b$ 的取值范围；标注答案$\left(-\infty,2\sqrt 2\right]$解析函数 $h(x)$ 的导函数\[h'(x)=\dfrac{-ax^2+bx+1}x,\]根据题意，$a=-2$ 时 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增函数，于是\[\forall x>0,2x^2+bx+1\geqslant 0,\]也即\[\forall x>0,b\geqslant -\left(2x+\dfrac 1x\right),\]于是 $b$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\sqrt 2\right]$．
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设函数 $f(x)$ 的图象 $C_1$ 与函数 $g(x)$ 的图象 $C_2$ 交于点 $P,Q$，过线段 $PQ$ 的中点 $R$ 作 $x$ 轴的垂线分别交 $C_1,C_2$ 于点 $M,N$．问是否存在点 $R$，使 $C_1$ 在 $M$ 处的切线与 $C_2$ 在 $N$ 处的切线平行？若存在，求出 $R$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．标注答案不存在解析设 $P,Q$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$ 且 $x_1>x_2$，则\[\begin{cases} \ln x_1=\dfrac 12ax_1^2+bx_1,\\ \ln x_2=\dfrac 12ax_2^2+bx_2.\end{cases}\]于是 $R$ 点的横坐标\[m=\dfrac{x_1+x_2}2,\]考虑\[f'(m)-g'(m))=\dfrac 1m-am-b=\dfrac{2}{x_1+x_2}-a\cdot \dfrac{x_1+x_2}2-b.\]而\[\ln x_1-\ln x_2=\dfrac 12a\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+b\left(x_1-x_2\right),\]于是\[a\cdot \dfrac{x_1+x_2}2+b=\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2},\]因此只需要研究方程\[\dfrac{2}{x_1+x_2}-\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=0\]也即\[\ln\dfrac{x_1}{x_2}=2\cdot \dfrac{\dfrac{x_1}{x_2}-1}{\dfrac{x_1}{x_2}+1}\]是否有解．而我们熟知当 $x>1$ 时，有\[\ln x>2\cdot \dfrac{x-1}{x+1},\]因此不存在符合题意的点 $R$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
