已知向量 $\overrightarrow a=\left(\cos{\dfrac{3x}{2}},\sin{\dfrac{3x}{2}}\right)$，$\overrightarrow b=\left(\cos{\dfrac x2},-\sin {\dfrac x2}\right)$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，求 $f(x)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac 32$
【解析】
根据题意有\[\begin{split}f(x)&=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b-\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\\&=\cos {2x}-\sqrt{2+2\cos{2x}}\\&=2\cos ^2 x-2\cos x-1,\end{split}\]因为 $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}$，所以$$0\leqslant \cos x\leqslant 1.$$所以当 $\cos x=\dfrac 12$ 时，$f(x)$ 有最小值 $-\dfrac 32$．
答案
解析
备注
