已知数列 $\{a_n\}$ 的奇数项依次成首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列，偶数项依次成首项为 $1$ 公比为 $2$ 的等比数列．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
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若 $a_p+a_{p+1}$（$p\in\mathbb N^{\ast}$）是完全平方数，则令 $a_p+a_{p+1}=b_p$，求 $p\leqslant 10$ 时所有 $b_p$ 的和 $S$；标注答案$38$解析由题意知数列 $\{a_n\}$ 的前 $11$ 项分别为$$1,1,3,2,5,4,7,8,9,16,11.$$若 $a_p+a_{p+1}$ 是完全平方数，则$$p=2,5,9,$$且$$b_2=4,b_5=9,b_9=25,$$所以$$S=4+9+25=38.$$
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是否存在正整数 $k$，使得 $a_k=128(a_{k+5}+1)$？若存在，求出 $\{a_n\}$ 的前 $k$ 项和 $S_k$；若不存在，请说明理由．标注答案$8360$解析由题可得数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\begin{cases}n,&2\nmid n,\\ 2^{\frac n2-1},&2\mid n.\end{cases}$$若 $k$ 为偶数，则$$a_k=2^{\frac k2-1}=128(k+5+1),$$解得 $k=26$；
若 $k$ 为奇数，则$$a_k=k=128\left(2^{\frac{k+5}{2}-1}+1\right),$$方程无解．
综上，$k=26$，且$$S_{26}=\dfrac{13(1+25)}{2}+\dfrac{1-2^{13}}{1-2}=8360.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
