题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$（$x\ne 0$），记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），$f_0(x)=f(x)$． 问题1 求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值； 答案1 $3$ 解析1 根据题意，有\[\begin{split} f_2(x)&=\dfrac{2x-1}{x^2}\cdot {\rm e}^{2x-2},\\<br/>f_3(x)&=\dfrac{4x^2-4x+2}{x^3}\cdot {\rm e}^{2x-2},\end{split}\]于是\[f_2(1)+f_3(1)=1+2=3.\] 备注1 问题2 求证：$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$． 答案2 略 解析2 根据题意，有\[\left(xf(x)\right)'=2{\rm e}^{2x-2},\]也即\[f(x)+xf'(x)=2{\rm e}^{2x-2},\]两边再求导可得\[2f'(x)+xf''(x)=2^2{\rm e}^{2x-2},\]以此类推，可得\[nf_{n-1}(x)+xf_n(x)=2^n{\rm e}^{2x-2},\]于是\[nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n.\] 备注2