已知函数 $f(x)=\ln(x+1)-x+\dfrac{x^2}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\forall x>0,f(x)>0$；标注答案略解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2}{1+x}>0,\]于是 $f(x)$ 单调递增，从而当 $x>0$ 时，有\[f(x)>f(0)=0.\]
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求证：$\ln 2+\ln 3+\cdots+\ln(n+1)>\dfrac{9n^2+4n}{10(n+1)}$．标注答案略解析考虑到\[\dfrac{9n^2+4n}{10(n+1)}-\dfrac{9(n-1)^2+4(n-1)}{10n}=\dfrac 9{10}-\dfrac{1}{2n(n+1)}<\dfrac 9{10},\]而\[\ln 3,\ln 4,\cdots,\ln(n+1)>1,\]因此命题显然成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
