已知 $a,b$ 是正实数，设函数 $f(x)=x\ln x$，$g(x)=-a+x\ln b$．若存在 $x_0$，使 $x_0\in\left[\dfrac{a+b}{4},\dfrac{3a+b}{5}\right]$ 且 $f(x_0)\leqslant g(x_0)$ 成立，求 $\dfrac{b}{a}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $\dfrac{a+b}{4}<\dfrac{3a+b}{5}$，得 $\dfrac{b}{a}<7$，令$$h(x)=f(x)-g(x)=x\ln x-x\ln b+a,$$求导得$$h'(x)=\ln x+1-\ln b,$$故 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{b}{\mathrm{e}}\right)$ 上单调递减，$\left(\dfrac{b}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 上单调递增．
题意即 $h(x)$ 在 $\left[\dfrac{a+b}{4},\dfrac{3a+b}{5}\right]$ 上的最小值小于等于零即可．
情形一 当 $\dfrac{a+b}{4}\leqslant\dfrac{b}{\mathrm{e}}\leqslant\dfrac{3a+b}{5}$，即 $\dfrac{\mathrm{e}}{4-\mathrm{e}}\leqslant\dfrac{b}{a}\leqslant\dfrac{3\mathrm{e}}{5-\mathrm{e}}$ 时，
题意即 $h(x)$ 在 $\left[\dfrac{a+b}{4},\dfrac{3a+b}{5}\right]$ 上的最小值小于等于零即可．
答案
解析
备注
