题目 设 $f(x)={\rm e}^x-a(x+1)$． 问题1 若 $\forall x\in \mathbb R,f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的最大值； 答案1 $1$ 解析1 实数 $a$ 的最大值为 $1$，证明如下．<br/>当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]于是当 $x=0$ 时函数 $f(x)$ 取得极小值，亦为最小值\[f(1)=0,\]符合题意．<br/>当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-a,\]于是在区间 $(0,\ln a)$ 上函数 $f(x)$ 单调递减，因此在该区间上\[f(x)<f(0)=0,\]不符合题意．<br/>因此所求实数 $a$ 的最大值为 $1$． 备注1 问题2 是否存在正整数 $a$，使得 $1^n+3^n+\cdots+(2n-1)^n<\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}(an)^n$ 对一切正整数 $n$ 都成立，若存在，求 $a$ 的最小值；若不存在，请说明理由． 答案2 存在，最小值为 $2$ 解析2 取 $n=1$，可得\[a>\dfrac{{\rm e}-1}{\sqrt{\rm e}}>1,\]于是 $a\geqslant 2$．下面证明 $a$ 可以取到 $2$．此时欲证明命题即\[\forall n\in\mathbb N^{\ast},\left(\dfrac 1{2n}\right)^n+\left(\dfrac 3{2n}\right)^n+\cdots+\left(\dfrac {2n-1}{2n}\right)^n<\dfrac{\sqrt {\rm e}}{{\rm e}-1},\]联想到无穷递缩等比数列的求和公式，可得\[\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}=\dfrac{{\rm e}^{-\frac 12}}{1-{\rm e}^{-1}}>{\rm e}^{-\frac 12}+{\rm e}^{-\frac 32}+\cdots+{\rm e}^{-\frac {2n-1}2},\]因此考虑将左侧放缩为等比数列．根据第 $(1)$ 小题的结论，有\[{\rm e}^{-\frac{k}{2n}}>1-\dfrac{k}{2n},\]于是\[\left(\dfrac{2n-k}{2n}\right)^n<{\rm e}^{-\frac k2},\]其中 $k=1,3,\cdots,2n-1$，累加即得．<br/>因此符合题意的正整数 $a$ 的最小值为 $2$． 备注2