已知函数 $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ 的图象经过点 $A(-1,2)$，且在点 $A$ 处的切线方程为 $3x+y+1=0$，$y=f(x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点于坐标原点的下方，$y=f(x)$ 在 $x=x_1$ 与 $x=x_2$ 处取得极值，且 $|x_1-x_2|=2\sqrt2$．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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函数 $f(x)$ 的解析表达式；标注答案略解析函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=3x^2+2bx+c,$$根据题意，有$$\begin{cases}f(-1)=b-c+d-1=2,\\f'(-1)=-2b+c+3=-3,\end{cases}$$再结合\[|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{4b^2-12c}}{3}=2\sqrt2,\]整理得$$\begin{cases}b-c+d=3,\\-2b+c=-6,\\b^2-3c=18,\end{cases}$$由题可知 $d<0$，解得$$(b,c,d)=(0,-6,-3),$$故函数 $f(x)$ 的解析式为\[f(x)=x^3-6x-3.\]
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函数 $f(x)$ 的单调区间．标注答案略解析由第 $(1)$ 小题可知$$f'(x)=3x^2-6=3\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right),$$因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,-\sqrt2\right)$ 和 $\left(\sqrt2,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
