设正实数 $x_i,i=1,2,\cdots,n$ 满足 $x_1x_2\cdots x_n=1$，证明：$(\sqrt2+x_1)(\sqrt2+x_2)\cdots(\sqrt2+x_n)\geqslant(\sqrt2+1)^n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x_i=\mathrm{e}^{y_i},i=1,2,\cdots,n$，则$$\sum_{i=1}^ny_i=0.$$于是原不等式等价于$$\sum_{i=1}^n{\ln}(\sqrt2+\mathrm{e}^{y_i})\geqslant n(\sqrt2+1).$$而函数$$f(y)={\ln}(\sqrt2+\mathrm{e}^{y})$$易证为下凸函数，于是根据琴生不等式有$$\sum_{i=1}^n f(y_i)\geqslant nf\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^ny_i\right),$$即$$\sum_{i=1}^n{\ln}(\sqrt2+\mathrm{e}^{y_i})\geqslant n(\sqrt2+1),$$故有$$(\sqrt2+x_1)(\sqrt2+x_2)\cdots(\sqrt2+x_n)\geqslant(\sqrt2+1)^n.$$证毕．
答案
解析
备注
