已知非负实数 $x_i,i=1,2,\cdots,n$，如果 $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=n$．求证：$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1+x_i^2}\leqslant \sum_{i=1}^n\dfrac1{1+x_i}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1+x_i^2}\leqslant \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{2x_i}=\dfrac n2, $$又由算术-调和平均不等式得$$\sum_{i=1}^n\dfrac1{1+x_i}\geqslant\dfrac {n^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n(1+x_i)}=\dfrac n2.$$于是$$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1+x_i^2}\leqslant \sum_{i=1}^n\dfrac1{1+x_i}.$$
答案
解析
备注
