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  极限叙述

当 $a\leqslant 0$ 或 $a=\dfrac 12$ 时，$1$ 个；当 $0<a<\dfrac 12$ 时，$2$ 个；当 $a> \dfrac 12$ 时，$0$ 个

函数 $f(x)$ 的导函数\[g(x)=1+\ln x-2ax,\]函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{1-2ax}{x}.\]情形一 $a\leqslant 0$，此时 $g(x)$ 单调递增．取 $x_0={\rm e}^{2a-1}$，则\[g(x_0)<1+(2a-1)-2a=0,\]且\[g(1)=1-2a>0,\]于是 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上零点个数为 $1$．
情形二 $a>0$，此时 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac1{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{2a},+\infty\right)$ 上单调递减，于是 $g(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{2a}$ 处取得极大值，亦为最大值\[g\left(\dfrac{1}{2a}\right)=-\ln 2a.\]当 $a>\dfrac 12$ 时，$g(x)$ 的最大值小于 $0$，因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上零点个数为 $0$；
当 $a=\dfrac 12$ 时，$g(x)$ 的最大值等于 $0$，因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上零点个数为 $1$，且该零点为 $x=1$；
当 $0<a<\dfrac 12$ 时，$g(x)$ 的最大值大于 $0$，考虑到\[g(x)<1+\ln x,\]于是\[g\left({\rm e}^{-1}\right)<0,\]又\[g(x)\leqslant 1+2\left(\sqrt x-1\right)-1-2ax<2\sqrt x\left(1-a\sqrt x\right),\]于是\[g\left(\dfrac{1}{a^2}\right)<0,\]因此函数 $g(x)$ 在区间 $\left({\rm e}^-1,\dfrac 1{2a}\right)$ 和区间 $\left(\dfrac 1{2a},\dfrac{1}{a^2}\right)$ 上各有 $1$ 个零点，因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上零点个数为 $2$．

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  利用导数研究函数的单调性

$\left[\dfrac{\ln 2+1}4,\dfrac 12\right)$

根据题意，$g(x)$ 有变号零点，且\[\forall x>2,g(x)\leqslant 0,\]因此 $g(2)\leqslant 0$，可得\[a\geqslant \dfrac{\ln 2+1}4.\]结合第 $(1)$ 小题的结果，可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\ln 2+1}4,\dfrac 12\right)$．