题目 已知函数 $ f\left(x\right)=m-|x-2|,m\in {\mathbb{R}}$，且 $f\left(x+2\right)\geqslant 0 $ 的解集为 $ \left[-1,1\right] $， 问题1 求 $ m $ 的值； 答案1 $1$ 解析1 根据题意，不等式\[m-|x|\geqslant 0\]的解集为 $[-1,1]$．于是 $x=-1,1$ 是方程\[m-|x|=0\]的解，从而 $m=1$．经验证 $m=1$ 符合题意，因此 $m$ 的值为 $1$． 备注1 问题2 若 $ a,b,c$ 都是正实数，且 $ {\dfrac{1}{a}}+{\dfrac{1}{2b}}+{\dfrac{1}{3c}}=m $，求证：$ a+2b+3c\geqslant 9 $． 答案2 略 解析2 <sol>方法一</sol>根据柯西不等式，有\[1=\dfrac{1}{a}+\dfrac1{2b}+\dfrac1{3c}\geqslant \dfrac{9}{a+2b+3c},\]因此命题得证．<br/><sol>方法二</sol>根据均值不等式，有\[(a+2b+3c)\cdot\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac 1{2b}+\dfrac1{3c}\right)=3+\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2b}{3c}+\dfrac{3c}{2b}+\dfrac{a}{3c}+\dfrac{3c}{a}\geqslant 9,\]因此命题得证． 备注2