在边长为 $a$ 的正三角形 $T$ 中，作顶点分别在 $T$ 的三边上的内接正三角形 $T_1$，$T_1$ 与 $T$ 的边的夹角为定角 $\beta$，其中 $0<\beta\leqslant60^\circ$；依同样方式，在 $T_1$ 中作内接正三角形 $T_2$，再在 $T_2$ 中作内接正三角形 $T_3$，$\cdots$，如图所示，如此一直作下去，记 $T_n$ 的面积为 $b_n$，得到数列 $\{b_n\}$．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；标注答案略解析设 $T_n$ 的边长为 $a_n$，则有$$\dfrac{a_{n+1}}{\sin60^\circ}=\dfrac{x_n}{\sin\beta}=\dfrac{a_n-x_n}{\sin\left(120^\circ-\beta\right)},$$其中 $x_n$ 为 $\beta$ 的对边长，整理得$$x_n=\dfrac{a_n\cdot\sin\beta}{\sqrt3\sin\left(\beta+30^\circ\right)},$$因此，有$$a_{n+1}=\dfrac{1}{2\sin\left(\beta+30^\circ\right)}\cdot a_n,$$其中 $a_1=\dfrac{a}{2\sin\left(\beta+30^\circ\right)}$，故根据等比数列公式，得$$a_n=\dfrac{a}{\left[2\sin\left(\beta+30^\circ\right)\right]^n},$$所以数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=\dfrac{\sqrt3a^2}{4^{n+1}\cdot\left[\sin\left(\beta+30^\circ\right)\right]^{2n}}$．
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如果所有内接正三角形的面积之和 $b_1+b_2+b_3+\cdots$ 等于正三角形 $T$ 的面积，求 $\beta$ 的值．标注答案略解析由第一小问可知$$\sum\limits_{i=1}^{\infty}{b_i}=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot a^2}{4\sin^2\left(\beta+30^\circ\right)-1}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2,$$因此，有$$\sin^2\left(\beta+30^\circ\right)=\dfrac14,$$结合 $0<\beta\leqslant60^\circ$，解得 $\beta$ 的值为 $15^\circ$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
