椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F(1,0)$，过点 $P(0,2)$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，且 $\triangle FAB$ 周长的最大值为 $8$．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求 $a,b$ 的值；标注答案$a=2$，$b=\sqrt3$解析设椭圆的左焦点为 $F_1$，则有$$AB+AF+BF\leqslant AF_1+BF_1+AF+BF=4a=8,$$当且仅当 $A,B,F_1$ 三点共线时，取等，故 $a=2$，$b=\sqrt3$．
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若点 $Q(1,2)$，求 $\triangle QAB$ 面积的最大值．标注答案$\sqrt3$解析设直线 $AB$ 的方程为 $x=m(y-2)$，于是 $\triangle QAB$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12\left|\left(x_1-1\right)\left(y_2-2\right)-\left(x_2-1\right)\left(y_1-2\right)\right|\\
&=\dfrac 12\left|[my_1-(2m+1)](y_2-2)-[my_2-(2m+1)](y_1-2)\right|\\
&=\dfrac12|y_1-y_2|,\end{split}\]因此当直线 $AB$ 的斜率不存在时，$\triangle QAB$ 的面积取得最大值为 $\sqrt3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
